Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління ЗВІТ ПРО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № «Н А З В А»  Лабораторна робота №1 Абсолютна та відносна похибка Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Порядок роботи: Створити проект для виконання індивідуального завдання. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком: назва роботи; мета роботи; порядок роботи; короткі теоретичні відомості; алгоритм побудови розв’язку задачі; тексти відповідних модулів проекту; аналіз отриманих результатів та висновки. Короткі теоретичні відомості Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі. Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову δ ≤

, (1) де ат – перша значуща цифра числа а . Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1 є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо ∆= | А – а |≤
· 10m – n + 1. Звідси -
· 10m – n + 1 ≤ А – а ≤
· 10m – n + 1 . Тому А ≥ а -
· 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m -
· 10m – n + 1 або А ≥
· 10m
. (2) Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому А ≥
· 10m
≥
· 10m (2аm - 1). Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то А ≥
аm · 10m. Тепер, згідно з означенням, δ =
, або δ ≤
. Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти δa =
(3) де аm - перша значуща цифра числа а . Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти δa =
. Справді, якщо п>2, то числом
у нерівності (4.1) можна знехтувати. Тоді А ≥
· 10m ·2аm = аm · 10m. Тому δ =
. Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто
Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14 , що замінює точне число А = π? Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2 δa =
% . Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти
, щоб відносна похибка була не більшою за 0,1% ? Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 . Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою δ =
(4) де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а . Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр? Оскільки ∆ = δ a = 76,54 <
· 103, то число а має лише одну точну цифру. § 5. Похибки арифметичних операцій 1. Похибки суми. Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел. Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані наближені числа. Розглянемо їх алгебраїчну суму и = ± х1 ± х2 ± ... ± ...